Question

10．如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點A（1、0）和點B（4、0），與x軸交于點C．
（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）點P（m、0）是線段OB上一動點（不與點O、B重合），過點P作x軸的垂線分別交直線BC和拋物線于點M、N，當MN取最大值時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，判斷此時四邊形OCMN是平行四邊形還是菱形，為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到C（0，3），設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B（4、0），C（0，3）代入得到y(tǒng)=-$\frac{3}{4}$x+3，由點P（m、0），得到M（m，-$\frac{3}{4}$m+3），N（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3），于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形OCMN是平行四邊形，根據(jù)直線CN和直線OM的斜率的積不等于-1，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點A（1、0）和點B（4、0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{16a+4b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；
（2）由y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3，當x=0時，y=3，
∴C（0，3），設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B（4、0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵點P（m、0），
∴M（m，-$\frac{3}{4}$m+3），N（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3），
∴MN=-$\frac{3}{4}$m+3-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3）=-$\frac{3}{4}$m²+3m=-$\frac{3}{4}$（m-2）²+3，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴當m=2時，MN的最大值為3；
∴P（2，0）；
（3）四邊形OCMN是平行四邊形不是菱形，
理由：∵OC⊥x軸，MN⊥x軸，
∴OC∥MN，
∵OC=MN=3，
∴四邊形OCMN是平行四邊形，
∵C（0，3），M（3，$\frac{3}{4}$），N（3，-$\frac{3}{2}$），
∴直線CN的解析式為：y=-$\frac{3}{2}$x+3，
直線OM的解析式為：y=$\frac{9}{4}$x，
∵-$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$=-$\frac{27}{8}$≠-1，
∴CN不垂直于OM，
∴四邊形OCMN是平行四邊形不是菱形．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的相似，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．