Question

18．如圖，在等腰三角形ABC中AB=AC，AD⊥BC點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE交于點(diǎn)P，BP=3，PE=1，求三角形BDP的面積．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線，構(gòu)建△BCE的中位線，利用三角形中位線定理易求PG、AG的長度，并得EC=2DG，設(shè)DG=x，則EC=2x，利用同角的三角函數(shù)列式可求x的值，最后由三角形面積公式進(jìn)行解答．

解答 解：如圖，過D作DG⊥BE于G，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，即點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∵BE⊥AC，
∴DG∥AC，
∴BG=EG，
∴GD是△BCE的中位線，
∴DG=$\frac{1}{2}$CE．即CE=2DG，
∵BP=3，PE=1，
∴BE=3+1=4，
∴BG=$\frac{1}{2}$BE=2，
∴PG=3-2=1，
設(shè)DG=x，則EC=2x，
在△APE和△BPD中，∵∠BPD=∠APE，
∠BDP=∠AEP=90°，
∴∠DAC=∠DBP=∠GDP，
tan∠DBP=tan∠GDP=$\frac{EC}{BE}$，
∴$\frac{2x}{4}=\frac{1}{x}$，
x=$±\sqrt{2}$，
∴DG=$\sqrt{2}$，
∴S_△BDP=$\frac{1}{2}$GD•BP=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評 本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角函數(shù)，如果沒學(xué)三角函數(shù)可利用證明△DGP∽△BEC列比例式得出面積．