Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，1）、（1，2），過點A、B分別作y軸的垂線，垂足為D、C，得到正方形ABCD，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點，點P為第一象限內(nèi)拋物線上一點（不與點A重合），過點P分別作x軸y軸的垂線，垂足為E、F，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，矩形PFOE與正方形ABCD重疊部分圖形的周長為l．
（1）直接寫出拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)矩形PFOE的面積被拋物線的對稱軸平分時，求m的值．
（3）當(dāng)m＜2時，求L與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）設(shè)線段BD與矩形PFOE的邊交于點Q，當(dāng)△FDQ為等腰直角三角形時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點A（1，1），C（0，2）代入拋物線解析式即可求出結(jié)論；
（2）當(dāng)矩形PFOE的面積被拋物線的對稱軸平分時，點P、F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，由拋物線的頂點坐標(biāo)即可得出拋物線的對稱軸為x=1，結(jié)合點F的橫坐標(biāo)為0，即可得出m的值；
（3）由點P的橫坐標(biāo)為m，找出點P、F的坐標(biāo)，由此即可得出PF、FD的長度，分0＜m＜1和1＜m＜2兩種情況，根據(jù)矩形的周長公式即可得出L關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（4）連接BD，由點B、D的坐標(biāo)即可得出直線BD的函數(shù)解析式，聯(lián)立直線BD與拋物線解析式成方程組，求出交點坐標(biāo)，由此可分0＜m＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$、$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤m＜1、1＜m≤2以及m＞2四種情況考慮，結(jié)合正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵B（1，2），BC⊥y軸于C，
∴C（0，2），將點A（1，1），C（0，2）代入y=x²+bx+c中，
得到：b=-2，c=2．
∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=x²-2x+2；

（2）∵PE∥y軸，矩形PFOE的面積被拋物線的對稱軸平分，
∴P、F點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，1），
∴拋物線的對稱軸為x=1．
∵F點的橫坐標(biāo)為0，
∴m=2；

（3）∵點P的橫坐標(biāo)為m，點P為第一象限內(nèi)拋物線上的點且不與點A重合，
∴P（m，m²-2m+2）（m＞0，且m≠1）．
∵四邊形ABCD為正方形，且A（1，1），
∴D（0，1），B（1，2），F(xiàn)（0，m²-2m+2），
∴PF=m，F(xiàn)D=m²-2m+2-1=m²-2m+1，
根據(jù)點P在點A的左右不同分兩種情況（如圖1）：
當(dāng)0＜m＜1時，L=2×（PF+FD）=2×（m+m²-2m+1）=2m²-2m+2；
當(dāng)1＜m＜2時，L=2×（AD+FD）=2×（1+m²-2m+1）=2m²-4m+4．

（4）連接BD，如圖2所示．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
將D（0，1）、B（1，2）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=x+1．
聯(lián)立直線BD與拋物線解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$（舍去）．
當(dāng)0＜m＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$時，若要△FDQ為等腰直角三角形，
只需FD=$\sqrt{2}$DQ=2PF，即m²-2m+1=2m，
解得：m=2-$\sqrt{3}$或m=2+$\sqrt{3}$（舍去），
∴∠FQD=90°，此時，△FDQ為等腰直角三角形；
當(dāng)$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤m＜1時，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠FDQ=∠CDB=45°，
∵∠DFQ=90°，
∴△FDQ為等腰直角三角形；
當(dāng)1＜m≤2時，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠FDQ=∠CDB=45°，
∵∠DFQ=90°，
∴△FDQ為等腰直角三角形；
當(dāng)m＞2時，線段BD與矩形PFOE的邊只有一個交點D，沒有點Q，
∴不存在△FDQ．
綜上可知：當(dāng)△FDQ為等腰直角三角形時，m的取值范圍為$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤m＜1和1＜m≤2或m=2-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)、矩形的周長、正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵，