Question

9．如圖，在正方形ABCD中AC與BD交于點O，形外有一點E，使∠AED=90°，且DE=3，OE=4$\sqrt{2}$，則AE=5．

Answer 1

分析 首先過點O作OM⊥AE于點M，作ON⊥DE，交ED的延長線于點N，易得四邊形EMON是正方形，點A，O，D，E共圓，則可得△OEN是等腰直角三角形，求得EN的長，繼而證得Rt△AOM≌Rt△DON，得到AM=DN，繼而求得答案．

解答 解：過點O作OM⊥AE于點M，作ON⊥DE，交ED的延長線于點N，
∵∠AED=90°，
∴四邊形EMON是矩形，
∵正方形ABCD的對角線交于點O，
∴∠AOD=90°，OA=OD，
∴∠AOD+∠AED=180°，
∴點A，O，D，E共圓，
∴$\widehat{OA}$=$\widehat{OD}$，
∴∠AEO=∠DEO=$\frac{1}{2}$∠AED=45°，
∴OM=ON，
∴四邊形EMON是正方形，
∴EM=EN=ON，
∴△OEN是等腰直角三角形，
∵OE=4$\sqrt{2}$，
∴EN=4，
∴EM=EN=4，
在Rt△AOM和Rt△DON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），
∴AM=DN=EN-ED=4-3=1，
∴AE=AM+EM=1+4=5．
故答案為：5．

點評 此題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．