Question

18．已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點B（12，0）和C（0，-6），對稱軸為x=2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點D在線段AB上且AD=AC，若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點Q的運動速度；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的結論下，直線x=1上是否存在點M使，△MPQ為等腰三角形？若存在，請寫出所有點M的坐標（請直接寫出答案）；若不存在，請說明理由．
【提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=-$\frac{2a}$，頂點坐標是（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）】

Answer 1

分析 （1）把B（12，0）和C（0，-6）代入解析式，然后根據(jù)對稱軸公式得到關于a，b的方程組，解方程組即可求得；
（2）根據(jù)勾股定理求得AC=AD=10，然后通過證得DQ∥AC，得出$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BQ}{CQ}$，根據(jù)DB=AD=10，得出BQ=CQ，根據(jù)三角形中位線定理得出DQ=$\frac{1}{2}$AC=5，進而求得AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，所以存在t=5（秒）時，線段PQ被直線CD垂直平分，根據(jù)勾股定理求得CQ=3$\sqrt{5}$，進而就可求得點Q的運動速度；
（3）求得P、Q的坐標，設M（1，y），分三種情況利用勾股定理列出關于y的方程，解方程求得即可．

解答 解：（1）∵拋物線過C（0，-6），
∴c=-6，即y=ax²+bx-6，
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=2}\\{144a+12b-6=0}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{16}$，b=-$\frac{1}{4}$，
∴該拋物線的解析式為y=$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x-6；
（2）存在；
設直線CD垂直平分PQ，
∵B（12，0），C（0，-6），對稱軸為x=2，
∴A（-8，0），
∴OA=8，OC=6，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10=AD，
∴點D在對稱軸上，連結DQ  顯然∠PDC=∠QDC，
由已知∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BQ}{CQ}$，
∵AB=20，AD=10，
∴DB=AB-AD=20-10=10=AD，
∴$\frac{BQ}{CQ}$=1，
∴BQ=CQ，
∴DQ為△ABC的中位線，
∴DQ=$\frac{1}{2}$AC=5．
AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）時，線段PQ被直線CD垂直平分，
在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{{6}^{2}+1{2}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴CQ=3$\sqrt{5}$，
∴點Q的運動速度為每秒$\frac{3\sqrt{5}}{5}$單位長度．
（3）∵PD=DQ=5，
∴P（-3，0），
∵B（12，0）和C（0，-6），BQ=CQ，
∴Q（6，-3），
設M（1，y），
當PM=QM時，則（-3-1）²+（0-y）²=（6-1）²+（-3-y）²，
解得y=-3，
∴M₁（1，-3）；
當PQ=PM時，則（-3-1）²+（0-y）²=（-3-6）²+（0+3）²
解得y=±$\sqrt{74}$，
∴M₂（1，$\sqrt{74}$），M₃（1，-$\sqrt{74}$），
當PQ=QM時，則（6-1）²+（-3-y）²=（-3-6）²+（0+3）²，
解得y=-3±$\sqrt{65}$，
∴M₄（1，-3+$\sqrt{65}$），M₅（（1，-3-$\sqrt{65}$）．
綜上，存在這樣的五點：M₁（1，-3），M₂（1，$\sqrt{74}$），M₃（1，-$\sqrt{74}$），M₄（1，-3+$\sqrt{65}$），M₅（（1，-3-$\sqrt{65}$）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理的應用等，熟練掌握性質(zhì)定理以及求解析式的方法是解題的關鍵．