Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于點(diǎn)E，BC交⊙O于點(diǎn)D，CD=BD，∠C=70°．現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：①∠A=45°；②AC=AB；③

AE

=

BE

；④CE•AB=2BD²．
其中正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：連結(jié)AD、BE，DE，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，則AD⊥BC，加上CD=BD，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到AB=AC；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠BAC=40°；由AB為直徑得到∠AEB=90°，則∠ABE=50°，根據(jù)圓周角定理可判斷

AE

≠

BE

；接著證明△CED∽△CBA，利用相似比得到CE•CA=CD•CB，然后利用等線段代換即可得到CE•CA=2BD²．

解答：解：連結(jié)AD、BE，DE，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
而CD=BD，
∴AB=AC，所以②正確；
∵∠C=70°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=40°，所以①錯(cuò)誤；
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=50°，
∴

AE

≠

BE

，所以③錯(cuò)誤；
∵∠CED=∠CBA，
而∠C公共，
∴△CED∽△CBA，
∴

CE

CB

=

CD

CA

，
∴CE•CA=CD•CB，
∴CE•CA=BD•2BD=2BD²，所以④正確．
故答案為②④．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．