Question

15．如圖甲，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=5，CD=3，cotB=1，P是邊BC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P作射線PE，使射線PE交射線BA于點(diǎn)E，∠BPE=∠CPD．
（1）如圖乙，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，求∠DPC的正切值；
（2）當(dāng)點(diǎn)E落在線段AB上時，設(shè)BP=x，BE=y，試求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）設(shè)以BE長為半徑的⊙B和以AD長為直徑的⊙O相切，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，證明△AHP≌△DCP，求出PC的長，得到∠DPC的正切值；
（2）作EM⊥BC于M，用x、y表示BM、PM，證明△EPM∽△DPC，得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)解析式；
（3）分點(diǎn)E在線段AB上和線段AB的延長線上兩種情況，根據(jù)兩圓相切時，圓心距與兩圓半徑的關(guān)系解答即可．

解答 解：（1）如圖1，作AH⊥BC于H，

在△AHP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPF=∠CPD}\\{∠AHP=∠DCP}\\{AH=DC}\end{array}\right.$
∴△AHP≌△DCP（AAS），
∴HP=PC
∵cotB=1，
∴∠B=45°，BH=AH=3，HP=PC=1，
tan∠DPC=3

（2）如圖2，作EM⊥BC于M，

EM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，PM=x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，
△EPM∽△DPC，
∴$\frac{EM}{CD}$=$\frac{PM}{CP}$
$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}y}{3}$=$\frac{x-\frac{\sqrt{2}}{2}y}{5-x}$，y=$\frac{3\sqrt{2}x}{8-x}$（0＜x≤4）

（3）如圖3，

∵O為AD的中點(diǎn)，
∴BO=5，
當(dāng)E在邊AB上時，BO=BE+AO
5=1+$\frac{3\sqrt{2}x}{8-x}$，BP=x=48$\sqrt{2}$-64，
當(dāng)E在邊AB延長線上時，BO=BE-AO
5=$\frac{3\sqrt{2}x}{8-x}$-1，BP=x=16-8$\sqrt{2}$

點(diǎn)評 本題考查的是直角梯形、相似三角形、銳角三角函數(shù)、兩圓相切的知識，綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生有綜合運(yùn)用知識的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，解答時，注意數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的運(yùn)用．