Question

20．在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB邊上一點(diǎn)，∠BCE=15°，且AE=AD．連接DE交對(duì)角線AC于H，連接BH．
（1）求證：AC⊥ED；
（2）求證：△ACD≌△ACE；
（3）請(qǐng)猜測(cè)CD與DH的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）在等腰直角△ADE中，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AH⊥ED，即AC⊥ED；
（2）由（1）證得∠ABC=90°，AB=BC，得到∠BAC=∠ACB=45°，由∠BAD=90°，得到∠BAC=∠DAC，得到△ACD≌△ACE；
（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE為等邊三角形，得到∠DCH=30°，CD=2DH．

解答 解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠BAD=90°，
又∵AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED；

（2）由（1）證得∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ACD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠EAC=DAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACE（SAS）；

（3）CD=2DH．
∵由（1）證得∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠BAC=∠CAD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°，
∴∠CED=180°-∠BEC-∠AED=180°-75°-45°=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠DCH=30°，
∴CD=2DH．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵