Question

14．如圖，已知：圓內(nèi)接正方形ABCD，∠DAC的平分線交圓于E，交CD于P，
（1）求證：DE²=AE•EP；
（2）若EP=1，AP=3，求圓的半徑r？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠DAC的平分線交圓于E，得到∠DAE=∠CAE，根據(jù)圓周角定理得到∠AED=∠DEP，推出△ADE∽△DPE，于是得到$\frac{PE}{DE}=\frac{DE}{AE}$，即可得到結(jié)論；
（2）由EP=1，AP=3，得到AE=4，于是得到DE=2根據(jù)圓周角定理得到CE=DE=2，由于AC是直徑，于是得到∠AEC=90，根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{A{E^2}+C{E^2}}=2\sqrt{5}$，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠DAC的平分線交圓于E，
∴∠DAE=∠CAE，
∵∠CDE=∠CAE，
∴∠DAE=∠CDE，
∵∠AED=∠DEP，
∴△ADE∽△DPE，
∴$\frac{PE}{DE}=\frac{DE}{AE}$，
∴DE²=AE•EP；

（2）解：∵EP=1，AP=3，
∴AE=4，
∴DE²=AE•EP=4，
∴DE=2
∵∠DAE=∠CAE，
∴弧DE=弧CE，
∴CE=DE=2，
∵圓內(nèi)接正方形ABCD，
∴∠ADC=90，
∴AC是直徑，
∴∠AEC=90，
∴AC=$\sqrt{A{E^2}+C{E^2}}=2\sqrt{5}$，
∴r=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正多邊形的圓及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．