Question

9．在△ABC中，∠B=30°，AD是BC上的高，且AD²=BD•DC，則∠BCA的度數(shù)是60或120度．

Answer 1

分析 分兩種情況考慮：當(dāng)∠BCA為銳角和鈍角，將已知的積的恒等式化為比例式，再根據(jù)夾角為直角相等，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角的相等的兩三角形相似可得出△ADB∽△CDA，由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，利用直角三角形的兩銳角互余及外角性質(zhì)分別求出兩種情況下∠BCA的度數(shù)即可．

解答 解：當(dāng)∠BCA為銳角時(shí)，如圖1所示，
∵AD²=BD•DC，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{BD}{AD}$，
又AD⊥BC，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ADB∽△CDA，又∠B=35°，
∴∠CAD=∠B=35°，∠BCA=∠BAD，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°，
∴∠BAD=60°，
則∠BCA=∠BAD=60°；
當(dāng)∠BCA為鈍角時(shí)，如圖2所示，
同理可得△ADB∽△CDA，又∠B=30°，
可得∠CAD=∠B=30°，
則∠BCA=∠CDA+∠CAD=120°，
綜上，∠BCA的度數(shù)為60°或120°．
故答案為：60或120．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及外角的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，其中相似三角形的判定方法有：兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似．