Question

3．已知：如圖，已知直線AB的函數(shù)解析式為y=-2x+8，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P（m，n）為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥y軸于點(diǎn)F，連接EF，問(wèn)：
①若△PAO的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出m的取值范圍；
②是否存在點(diǎn)P，使EF的值最�。咳舸嬖�，求出EF的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)直接求值，
（2）①由點(diǎn)在直線AB上，找出m與n的關(guān)系，再用三角形的面積公式求解即可；
②判斷出EF最小時(shí)，點(diǎn)P的位置，根據(jù)三角形的面積公式直接求解即可．

解答 解：（1）令x=0，則y=8，
∴B（0，8），
令y=0，則-2x+8=0，
∴x=4，
∴A（4，0），
（2）∵點(diǎn)P（m，n）為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴-2m+8=n，∵A（4，0），
∴OA=4，
∴0＜m＜4
∴S_△PAO=$\frac{1}{2}$OA×PE=$\frac{1}{2}$×4×n=2（-2m+8）=-4m+16，（0＜m＜4）；
（3）存在，
理由：∵PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥y軸于點(diǎn)F，OA⊥OB，
∴四邊形OEPF是矩形，
∴EF=OP，
當(dāng)OP⊥AB時(shí)，此時(shí)EF最小，
∵A（4，0），B（0，8），
∴AB=4$\sqrt{5}$
∵S△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$AB×OP，
∴OP=$\frac{OA×OB}{AB}=\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$，
∴EF最小=OP=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，三角形的面積公式，極值的確定，解本題的關(guān)鍵是求出三角形PAO的面積．