Question

8．已知：如圖，一次函數(shù)y=-$\sqrt{3}$x+3的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊作Rt△ABC，且∠ABC=30°，∠BAC=90°，點C在第一象限
（1）求AB的長及點C的坐標(biāo)；
（2）求點C作AB的平行線，與x軸、y軸分別相交于點D、E
①求直線DE的解析式；
②若點P是線段DE上的一個點，且△ABP是等腰三角形，求EP的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CH⊥OA于H．在Rt△ACH中求出CH，AH即可．
（2）①由DE∥AB，可以設(shè)直線DE的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+b，把（2$\sqrt{3}$，1）的坐標(biāo)代入得b=7，由此即可解決問題．
②分三種情形討論�。寒�(dāng)AP=AB時，如圖2中．ⅱ：當(dāng)BA=BP時，如圖3中，作BT⊥EC于T．ⅲ：當(dāng)PA=PB時，如圖4中，作PH⊥AB于H．分別求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，作CH⊥OA于H．

∵一次函數(shù)y=-$\sqrt{3}$x+3的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，3），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2，
在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°∠CAH=30°，AC=2，
∴CH=1，AH=$\sqrt{3}$，
∴OA=2$\sqrt{3}$，
∴C（2$\sqrt{3}$，1）．

（2）①∵DE∥AB，
∴設(shè)直線DE的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+b，
把（2$\sqrt{3}$，1）的坐標(biāo)代入得b=7，
∴直線DE的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+7．

②應(yīng)分三種情況：
�。寒�(dāng)AP=AB時，如圖2中，

由（1）可知AP=AB=2$\sqrt{3}$，AC=2，
在Rt△APC中，PC=$\sqrt{A{P}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=2，
∴CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△EOD中，∵∠OED=30°，OD=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴DE=2OD=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$，
∴EC=ED-CD=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴EP=EC-PC=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$

ⅱ：當(dāng)BA=BP時，如圖3中，作BT⊥EC于T，

∵BT=AC=2，ET=TC=2$\sqrt{3}$，
TP₁=TP₂=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴EP₁=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$，EP₂=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$．

ⅲ：當(dāng)PA=PB時，如圖4中，作PH⊥AB于H．

∴BH=AH=PC=$\sqrt{3}$，
∴EP=EC-PC=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、等腰三角形的判定和性質(zhì)、兩直線平行k相同、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．