Question

2．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，
（1）在腰AB上能否找一點(diǎn)P，使∠DPC=90°，若能，請求出AP的長；
（2）能否在在腰AB上確定點(diǎn)P，使得D發(fā)出的光線在P點(diǎn)反射后經(jīng)過C點(diǎn)，若能，請求出AP的長．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，得到∠ADP=∠BPC，證得△PAD∽△PBC，得到比例式$\frac{PA}{BC}$=$\frac{AD}{PB}$，代入數(shù)值即可求出；
（2）當(dāng)D發(fā)出的光線在P點(diǎn)反射后經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，即入射角=反射角，得到∠APD=∠BPC，證得△ADP∽△BPC，得到比例式$\frac{AP}{BP}$=$\frac{AD}{BC}$，代入數(shù)值即可求出．

解答 解：（1）存在；
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，
∠APD+∠BPC=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，
∴$\frac{PA}{BC}$=$\frac{AD}{PB}$，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6；

（2）存在；
當(dāng)D發(fā)出的光線在P點(diǎn)反射后經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，
即：入射角=反射角，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AP}{BP}$=$\frac{AD}{BC}$，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=$\frac{14}{5}$．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；判定為：①有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似；性質(zhì)為相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．