Question

11．腰長為6的等腰直角△ABC中，D是BC上的一動點(diǎn)（不與BC重合），過點(diǎn)D作AB，
AC的垂線，垂足為E，F(xiàn)．
（1）證明：△BDE∽△CDF；
（2）設(shè)BD=x，四邊形AEDF的面積為y，請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)y最大？y的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AB=AC，∠A=90°，∠B=∠C，由于DE⊥AB，DF⊥AC，得到∠BED=∠CFD=90°，根據(jù)相似三角形的判定定理即可證得△BDE∽△CDF；
（2）根據(jù)矩形的面積公式即可列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答 （1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠A=90°，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴△BDE∽△CDF；

（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∵BD=x，
∴BE=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴AE=6-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵∠A=∠BED=∠CFD=90°，
∴四邊形AEDF是矩形，
∴y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•（6-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）=-$\frac{1}{2}$x²+3$\sqrt{2}$x，
當(dāng)x=3$\sqrt{2}$時(shí)，y_最大=9．

點(diǎn)評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，二次函數(shù)的最值，矩形的判定，掌握定理是解題的關(guān)鍵．