Question

4．用換元法解方程：
（1）x²-x-$\frac{12}{{x}^{2}-x}$=4
（2）$\frac{3{x}^{2}}{x+1}$-$\frac{x+1}{{x}^{2}}$=2．

Answer 1

分析 （1）方程的兩個(gè)部分具備倒數(shù)關(guān)系，若設(shè)y=x²-x，則原方程另一個(gè)分式為12×$\frac{1}{y}$．可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程．先求y，再求x．結(jié)果需檢驗(yàn)；（2）方程的兩個(gè)部分具備倒數(shù)關(guān)系，若設(shè)y=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$，則原方程另一個(gè)分式為$\frac{1}{y}$．可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程．先求y，再求x．結(jié)果需檢驗(yàn)．

解答 解：（1）y=x²-x，則原方程化為y-12×$\frac{1}{y}$=4，
整理得y²-4y-12=0，
解這個(gè)方程，得y₁=6，y₂=-2．
當(dāng)y=6時(shí)，x²-x=6，即x²-x-6=0，
解這個(gè)方程，得x₁=-2，x₂=3．
當(dāng)y=-2時(shí)，x²-x=-2，即x²-x+2=0，
∵△=1-8＜0，∴這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
經(jīng)檢驗(yàn)，x₁=-2，x₂=3都是原方程的根．
∴原方程的根是x₁=-2，x₂=3；

（2）設(shè)y=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$，則原方程化為3y-$\frac{1}{y}$=2，
整理得3y²-2y-1=0，
解這個(gè)方程，得y₁=1，y₂=-$\frac{1}{3}$．
當(dāng)y=1時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{x+1}$=1，即x²-x-1=0，
解這個(gè)方程，得x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．
當(dāng)y=-$\frac{1}{3}$時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{x+1}$=-$\frac{1}{3}$，即3x²+x+1=0，
∵△=1-12＜0，∴這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
經(jīng)檢驗(yàn)，x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$都是原方程的根．
∴原方程的根是x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了換元法解分式方程，用換元法解分式方程是常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡(jiǎn)，化難為易，對(duì)此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧．