Question

19．已知△ABC中，∠C=90°，BC=a，CA=b，AB=c，⊙O與三角形的邊相切，下列選項中，⊙O的半徑為$\frac{ab}{a+b}$的是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 利用圓與三角形各邊相切的不同情況，利用勾股定理列方程求出圓的半徑，找出正確的答案．

解答 解：①∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴⊙O的半徑=$\frac{a+b-c}{2}$，
∴A不正確；
②∵⊙O與AB，BC相切，
∴r²+（c-a）²=（b-r）²
∴r=$\frac{（a+b-c）（b+c-a）}{2b}$，
∴B不正確；
③∵⊙O與AC，BC相切，圓心在AB上，
∴$\frac{b=r}$=$\frac{r}{a}$，
∴r=$\frac{ab}{a+b}$，
∴C正確，
④∵⊙O與AB，AC相切，圓心在BC 上，
∴（a-r）²=r²+（c-b）²，
∴r=$\frac{（a+c-b）（a-c+b）}{2a}$，
∴D不正確．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理的應用，正確弄清圓與三角形的位置關系是解決本題的關鍵．