Question

1．如圖，在等邊三角形ABC中，AE=CD，AD、BE交于Q點(diǎn)，BP⊥AD于P點(diǎn)．
求證：（1）△BAE≌△ACD；
（2）∠BQP=60°；
（3）BQ=2PQ．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，即可證明．
（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，即可證明．
（3）利用直角三角形30度性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠C=60°}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD（SAS），


（2）∵△ABE≌△CAD
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，

（3）∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BP=2PQ．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖求出△BPQ是含30°角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．