Question

14．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②AP=BQ；③DE=DP；④∠AOB=60°．恒成立的結(jié)論有幾個(gè)（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①只要證明△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），可知②正確；
③首先證明DP=EQ，由DE＞QE，且DP=QE，推出DE＞DP，（故③錯(cuò)誤）；
④利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正確．

解答 解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，（故①正確）；

②又∵AC=BC，∠ACP=∠BCQ=60°，∠DAC=∠EBC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴AP=BQ，（故②正確）；

③∵△ACP≌△BCQ，
∴AP=QB，
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE，
∴AD-AP=BE-QB，
∴DP=EQ，
∵DE＞QE，且DP=QE，
∴DE＞DP，（故③錯(cuò)誤）；

④∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故④正確）．
∴正確的有：①②④．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確尋找三角形全等是解答本題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．