Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，O為原點(diǎn)，?ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），AB=6，∠BAD=60°，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，CE=3EB，⊙P過A、O、D三點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：DE是⊙P的切線；
（3）若將△CDE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′會(huì)落在拋物線y=ax²+bx+c上嗎？請(qǐng)說明理由；
（4）若點(diǎn)M為此拋物線的頂點(diǎn)，平面上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先求出CE=3，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等判斷出△OAD∽△ECD即可得出∠ODA=∠EDC，即可得出∠ODE=90°，結(jié)論得證；
（3）先利用旋轉(zhuǎn)求出點(diǎn)E'的坐標(biāo)，最后判定點(diǎn)E'是否在拋物線上；
（4）分三種情況，利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，和平行四邊形的對(duì)角線互相平分建立方程求解即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（-2，0），AB=6，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∵DO⊥AB，∠BAD=60°，
∴OD=OAtan60°=2$\sqrt{3}$，
∴D（0，2$\sqrt{3}$），
∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A，B，D；
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{4}}\\{b=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；

（2）A（-2，0），
∴OA=2，
在Rt△AOD中，∠BAD=60°，
∴OD=2$\sqrt{2}$，AD=4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠CAD=∠C=60°，CD=AB=6，BC=AD=4，
∵CE=3EB，
∴CE=3，
∴$\frac{OA}{AD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{CE}{CD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{AD}=\frac{CE}{CD}$，∵∠OAD=∠C，
∴△OAD∽△ECD，
∴∠ODA=∠EDC，
∵∠ODC=90°，
∴∠ADE=∠ODA+∠ODE=∠EDC+∠ODE=90°，
∵點(diǎn)D在⊙P上，
∴DE是⊙P的切線；

（3）點(diǎn)E'不在拋物線上，理由：如圖1，
∵∠ADE=90°，
∴點(diǎn)E'落在DA的延長線上，點(diǎn)C'落在y軸上，
∴C'（0，-6），
由旋轉(zhuǎn)知，∠DC'E'=∠C=60°，C'E'=CE=3，
過點(diǎn)E'作E'H⊥DC'于H，
∴E'H=C'E'sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，C'H=C'E'cos60°=$\frac{3}{2}$，
∴OH=DC'-C'H-OD=$\frac{9}{2}-2\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)E'落在第三象限，
∴E'（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，2$\sqrt{3}$-$\frac{9}{2}$），
當(dāng)x=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$時(shí)，y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）+2$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{16}$-$\frac{9}{4}$≠2$\sqrt{3}$-$\frac{9}{4}$，
∴點(diǎn)E'不在拋物線上；

（4）如圖2，由（1）知，拋物線的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；
∴M（1，$\frac{7\sqrt{3}}{4}$），
∵B（4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），
設(shè)N（m，n），
∵以點(diǎn)B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
①當(dāng)BD與MN是對(duì)角線時(shí)，
∴$\frac{1}{2}$（m+1）=$\frac{1}{2}$×4，$\frac{1}{2}$（n+$\frac{7\sqrt{3}}{4}$）=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$，
∴m=3，n=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴N₁（3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
②當(dāng)BM與DN是對(duì)角線時(shí)，同①的方法得，N₂（5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
③當(dāng)BN與DM是對(duì)角線時(shí)，同①的方法得，N₃（-3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的判斷和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，解（1）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△OAD∽△ECD，解（3）的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)確定出點(diǎn)E'的坐標(biāo)，解（4）的關(guān)鍵是分類討論的思想解決問題．