Question

18．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．
（1）求證：△DFE是等腰直角三角形；   
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形CEDF為正方形；并加以證明．

Answer 1

分析 （1）連接CF．只要證明△ADF≌△CEF即可解決問題；
（2）當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEDF為正方形；

解答 （1）證明：連接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正確；

（2）解：當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEDF為正方形
∵E為BC中點(diǎn)時(shí)，CD=DF=FE=EC，
四邊形CDFE是菱形，又∠C=90°，
∴四邊形CDFE是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．