Question

2．如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結(jié)EF交CD于點G．若G是CD的中點，則BC的長是（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 根據(jù)線段中點的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明△DEG和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=CF，EG=FG，設(shè)DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對邊相等可得BC=AD．

解答 解：∵矩形ABCD中，G是CD的中點，AB=8，
∴CG=DG=$\frac{1}{2}$×8=4，
在△DEG和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠DCF=90°}\\{CG=DG}\\{∠DGE=∠CGF}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE=CF，EG=FG，
設(shè)DE=x，
則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG=$\sqrt{D{E}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
∴EF=2$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
解得x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7．
故選A．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵