Question

11．善于學(xué)習(xí)的小敏查資料知道：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個問題，你能幫助解決嗎？
【問題一】平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）從特殊情形入手探究．假設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位線（如圖①）．根據(jù)相似梯形的定義，請你說明梯形AMND與梯形ABCD是否相似？
（2）一般結(jié)論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形不相似（填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”，不要求證明）
【問題二】平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個小梯形和原梯形是否相似？
（1）從特殊平行線入手探究，梯形的中位線截兩腰所得的兩個小梯形不相似（填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”，不要求證明）
（2）從特殊梯形入手探究．同上假設(shè)，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線PQ（點PQ在梯形的兩腰上，如圖②），使得梯形APQD與梯形PBCQ相似嗎？請根據(jù)相似梯形的定義說明理由．
（3）一般結(jié)論：對于任意梯形（如圖③），一定存在（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個小梯形相似？若存在，則確定這條平行線位置的條件是$\frac{AP}{PB}$=$\frac{\sqrt{ab}}$（設(shè)AD=a，BC=b，AB=c，CD=d．用含a、b的式子表示 ）．

Answer 1

分析 問題一：（1）根據(jù)兩個梯形相似，因而兩個梯形的對應(yīng)腰的相等，對應(yīng)底的比相等；這個圖形中判定相似要同時滿足這幾個條件．反之，若相似則兩個梯形的對應(yīng)腰的相等，對應(yīng)底的比相等判斷即可；
（2）根據(jù)兩個梯形的對應(yīng)腰的相等，對應(yīng)底的比相等判斷即可；
問題二：（1）根據(jù)兩個梯形的對應(yīng)腰的相等，對應(yīng)底的比相等判斷即可；
（2）假設(shè)梯形APQD與梯形PBCQ相似，于是得到$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{PQ}{BC}$，即$\frac{2}{PQ}$=$\frac{PQ}{8}$得到PQ=4．由于$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．得到AP=2，PB=4，根據(jù)$\frac{DQ}{QC}=\frac{1}{2}$，CD=4，得到$DQ=\frac{4}{3}，QC=\frac{8}{3}$，于是得到$\frac{AD}{PQ}=\frac{PQ}{BC}=\frac{PA}{PB}=\frac{DQ}{QC}$，由于兩梯形中對應(yīng)角相等，于是得到結(jié)論；
（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，得到$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{PQ}{BC}$，$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AD}{PQ}$，代入即可得到結(jié)果．

解答 解：問題一：（1）兩個梯形的腰相等，
即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，
因而這兩個梯形一定不相似；
（2）不相似，
故答案為：不相似；

問題二：（1）不相似；
故答案為：不相似；
（2）梯形APQD與梯形PBCQ相似，
∴$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{PQ}{BC}$，即$\frac{2}{PQ}$=$\frac{PQ}{8}$
解得：PQ=4．
∵$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．
又∵AP+PB=6，
∴AP=2，PB=4，
∵$\frac{DQ}{QC}=\frac{1}{2}$，CD=4，
∴$DQ=\frac{4}{3}，QC=\frac{8}{3}$，
∴$\frac{AD}{PQ}=\frac{PQ}{BC}=\frac{PA}{PB}=\frac{DQ}{QC}$，
又∵兩梯形中對應(yīng)角相等，
∴梯形APQD相似于梯形PBCQ；
（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，
則$\frac{AD}{PQ}$=$\frac{PQ}{BC}$，$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AD}{PQ}$，
∵AD=a，BC=b，
∴PQ=$\sqrt{AD•BC}$=$\sqrt{ab}$，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{a}{\sqrt{ab}}$=$\frac{\sqrt{ab}}$．

點評 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，梯形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似梯形的性質(zhì)是：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，反之，相似圖形的判定方法是對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，熟練掌握相似梯形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．