Question

19．已知：拋物線y=ax²-2（a-1）x+a-2（a＞0）．
（1）求證：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂（其中x₁＞x₂）．若y是關(guān)于a的函數(shù)，且y=ax₂+x₁，求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：若使y＜-3a²+1，則自變量a的取值范圍為0＜a≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)于x的方程ax²-2（a-1）x+a-2=0的判別式符號(hào)來(lái)證明即可；
（2）利用求根公式解方程得x₁=1，x₂=1-$\frac{2}{a}$，于是得到y(tǒng)=a-1（a＞0）；
（3）利用圖象法解決問(wèn)題：先畫出直線y=a-1和拋物線y=-3a²+1的圖象，如圖，通過(guò)解方程得到a-1=-3a²+1可得到直線y=a-1和拋物線y=-3a²+1的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）、（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），然后觀察函數(shù)圖形得到當(dāng)-1≤a≤$\frac{2}{3}$時(shí)，a-1≤-3a²+1，由于a＞0，于是得到a的取值范圍為0＜a≤$\frac{2}{3}$．

解答 （1）證明：ax²-2（a-1）x+a-2=0（a＞0），
則△=[-2（a-1）]²-4a（a-2）=4．
即△＞0．
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）解：解方程得x=$\frac{2（a-1）±2}{2a}$，
∴x=1或x=1-$\frac{2}{a}$，
∵a＞0，x₁＞x₂，
∴x₁=1，x₂=1-$\frac{2}{a}$，
∴y=a（1-$\frac{2}{a}$）+1=a-1（a＞0）；

（3）解：畫出直線y=a-1和拋物線y=-3a²+1的圖象，如圖，
解方程得到a-1=-3a²+1得a=-1或a=$\frac{2}{3}$，
即直線y=a-1和拋物線y=-3a²+1的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）、（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
當(dāng)-1≤a≤$\frac{2}{3}$時(shí)，a-1≤-3a²+1，
而a＞0，
∴a的取值范圍為0＜a≤$\frac{2}{3}$．
故答案為：0＜a≤$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．解決（3）小題的關(guān)鍵是求出直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)．