Question

18．如圖，已知函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P（a，0）（其中a＞2），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交函數(shù)y=-$\frac{1}{2}x$+b和y=x的圖象于點(diǎn)C、D．
①若OB=2CD，求a的值；
②是否存在這樣的點(diǎn)P，使以B、O、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求得M點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線y=-$\frac{1}{2}$x+b的解析式，令y=0則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①用a可表示出C、D的坐標(biāo)，從而可表示出CD的長(zhǎng)，則由條件可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值；②當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)則可得OB=CD，同①可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)M在直線y=x上，
∴M（2，2），
∵點(diǎn)M（2，2）在一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+b的圖象上，
∴b=3，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
令y=0，得x=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）；
（2）①由題意得：C（a，-12a+3），D（a，a），
∴CD=a-（-$\frac{1}{2}$a+3）=$\frac{3}{2}$a-3，
∵OB=2CD．
∴2（$\frac{3}{2}$a-3）=3，
∴a=3；
②存在，
∵CD∥OB，且以B、O、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴OB=CD，
∴$\frac{3}{2}$a-3=3，解得a=4，
∴P（4，0），
即存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)及方程思想．在（1）中求得直線y=-$\frac{1}{2}$x+b的解析式是解題的關(guān)鍵，在（2）中用a表示出CD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．