Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點O為坐標(biāo)原點，點C在x軸的正半軸上，且BC⊥OC于點C，點A的坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{3}$），AB=4$\sqrt{3}$，∠B=60°，點D是線段OC上一點，且OD=4，連接AD．
（1）求證：△AOD是等邊三角形；
（2）求點B的坐標(biāo)；
（3）在x軸上求一點P，使△OBP為等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）過點A作AM⊥x軸于點M，根據(jù)已知條件，依據(jù)三角函數(shù)求得∠AOM=60°，根據(jù)勾股定理求得OA=4，即可求得．
（2）過點A作AN⊥BC于點N，則四邊形AMCN是矩形，在Rt△ABN中，根據(jù)三角函數(shù)求得AN、BN的值，從而求得OC、BC的長，得出點B的坐標(biāo)．
（3）利用等腰三角形的特征，分三種情況探討：OB=OP，PO=PB，BO=BP，進(jìn)一步綜合得出答案即可．

解答 解：（1）如圖2，證明：過點A作AM⊥x軸于點M，

∵點A的坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{3}$），
∴OM=2，AM=2$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AOM中，tan∠AOM=$\frac{AM}{OM}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOM=60°，
由勾股定理得，OA=$\sqrt{O{M}^{2}+A{M}^{2}}$=4，
∵OD=4，
∴OA=OD，
∴△AOD是等邊三角形．
（2）如圖2，過點A作AN⊥BC于點N，
∵BC⊥OC，AM⊥x軸，
∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°
∴四邊形ANCM為矩形，
∴AN=MC，AM=NC，
∵∠B=60°，AB=4$\sqrt{3}$，
∴在Rt△ABN中，
AN=AB•sinB=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
BN=AB•cosB=4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AN=MC=6，CN=AM=2$\sqrt{3}$，
∴OC=OM+MC=2+6=8，
BC=BN+CN=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴點B的坐標(biāo)為（8，4$\sqrt{3}$）．
（3）如圖，

連接OB，則OB=$\sqrt{64+48}$=4$\sqrt{7}$，
當(dāng)OB=OP，則P₁（4$\sqrt{7}$，0），P₂（-4$\sqrt{7}$，0）滿足條件，
作OB的垂直平分線交x軸于P₃，則P₃滿足條件，設(shè)P₃（x，0），則x²=（8-x）²+（4$\sqrt{3}$）²，x=7，P₃（7，0）；
O關(guān)于BC的對稱點P₄（16，0）也滿足條件
所以在x軸上求一點P，使△OBP為等腰三角形的點有4個P₁（4$\sqrt{7}$，0），P₂（-4$\sqrt{7}$，0），P₃（7，0），P₄（16，0）．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，注意分類討論思想的滲透．