Question

6．如圖，∠ABC=90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，AC切于點(diǎn)D，AD=2，AE=1，連OD．
（1）求OD的長(zhǎng)；
（2）求CB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接DE，根據(jù)弦切角定理得到∠ADE=∠ABD，推出△ADE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABC=90°，于是得到∠AD0=∠ABC，推出$\frac{AD}{AB}=\frac{OD}{BC}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接DE，
∵AC切⊙O于點(diǎn)D，
∴∠ADE=∠ABD，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
∵AD=2，AE=1，
∴$\frac{2}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴AB=4，
∴BE=3，
∴OD=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3}{2}$，；

（2）∵AC切⊙O于點(diǎn)D，
∴∠ADO=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠AD0=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{OD}{BC}$，
即$\frac{2}{4}=\frac{\frac{3}{2}}{BC}$，
∴BC=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，以及相似三角形、勾股定理和切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．