Question

8．如圖1，二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為（0，1），點B在第一象限內(nèi)，點C是二次函數(shù)圖象的頂點，點M是一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸的交點，過點B作軸的垂線，垂足為N，且S_△AMO：S_{四邊形AONB}=1：48．
（1）求直線AB和直線BC的解析式；
（2）點P是線段AB上一點，點D是線段BC上一點，PD∥x軸，射線PD與拋物線交于點G，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥BC于點F．當(dāng)PF與PE的乘積最大時，在線段AB上找一點H（不與點A，點B重合），使GH+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BH的值最小，求點H的坐標(biāo)和GH+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BH的最小值；
（3）如圖2，直線AB上有一點K（3，4），將二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1沿直線BC平移，平移的距離是t（t≥0），平移后拋物線上點A，點C的對應(yīng)點分別為點A′，點C′；當(dāng)△A′C′K是直角三角形時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)S_△AMO：S_{四邊形AONB}=1：48，求出三角形相似的相似比為1：7，從而求出BN，繼而求出點B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線解析式．
（2）先判斷出PE×PF最大時，PE×PD也最大，再求出PE×PF最大時G（5，$\frac{7}{2}$），再簡單的計算即可；
（3）由平移的特點及坐標(biāo)系中，兩點間的距離公式得A′C′²=8，A′K²=5m²-18m+18，C′K²=5m²-22m+26，最后分三種情況計算即可．

解答 解：（1）∵點C是二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1圖象的頂點，
∴C（2，-1），
∵AO⊥x軸，BN⊥x軸，
∴△MAO∽△MBN，
∵S_△AMO：S_{四邊形AONB}=1：48，
∴S_△AMO：S_△BMN=1：49，
∴OA：BN=1：7，
∵OA=1
∴BN=7，
把y=7代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x²-2x+1中，可得7=$\frac{1}{2}$x²-2x+1，
∴x₁=-2（舍），x₂=6
∴B（6，7），
∵A的坐標(biāo)為（0，1），
∴直線AB解析式為y=x+1，
∵C（2，-1），B（6，7），
∴直線BC解析式為y=2x-5．
（2）如圖1，

設(shè)點P（x₀，x₀+1），
∴D（$\frac{{x}_{0}+6}{2}$，x₀+1），
∴PE=x₀+1，PD=3-$\frac{1}{2}$x₀，
∵∠DPF固定不變，
∴PF：PD的值固定，
∴PE×PF最大時，PE×PD也最大，
PE×PD=（x₀+1）（3-$\frac{1}{2}$x₀）=-$\frac{1}{2}$x₀²+$\frac{5}{2}$x₀+3，
∴當(dāng)x₀=$\frac{5}{2}$時，PE×PD最大，
即：PE×PF最大．此時G（5，$\frac{7}{2}$）
∵△MNB是等腰直角三角形，
過B作x軸的平行線，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$BH=B₁H，
GH+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BH的最小值轉(zhuǎn)化為求GH+HB₁的最小值，
∴當(dāng)GH和HB₁在一條直線上時，GH+HB₁的值最小，
此時H（5，6），最小值為7-$\frac{7}{2}$=$\frac{7}{2}$
（3）令直線BC與x軸交于點I，
∴I（$\frac{5}{2}$，0）
∴IN=$\frac{7}{2}$，IN：BN=1：2，
∴沿直線BC平移時，橫坐標(biāo)平移m時，縱坐標(biāo)則平移2m，平移后A′（m，1+2m），C′（2+m，-1+2m），
∴A′C′²=8，A′K²=5m²-18m+18，C′K²=5m²-22m+26，
當(dāng)∠A′KC′=90°時，A′K²+KC′²=A′C′²，解得m=$\frac{10±\sqrt{10}}{5}$，此時t=$\sqrt{5}$m=2$\sqrt{5}$±$\sqrt{2}$；
當(dāng)∠KC′A′=90°時，KC′²+A′C′²=A′K²，解得m=4，此時t=$\sqrt{5}$m=4$\sqrt{5}$；
當(dāng)∠KA′C′=90°時，A′C′²+A′K²=KC′²，解得m=0，此時t=0．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，解本題的關(guān)鍵是相似三角形的性質(zhì)的運用．