Question

6．如圖，在正方形ABCD中，E為直線AB上的動點（不與A，B重合），作射線DE并繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)45°，交直線BC邊于點F，連結(jié)EF．
探究：當(dāng)點E在邊AB上，求證：EF=AE+CF．
應(yīng)用：（1）當(dāng)點E在邊AB上，且AD=2時，則△BEF的周長是4．
（2）當(dāng)點E不在邊AB上時，EF，AE，CF三者的數(shù)量關(guān)系是EF=CF-AE或EF=AE-CF．

Answer 1

分析 探究：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△DAG≌△DCF（SAS），得∠1=∠3，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），根據(jù)EG的長可得結(jié)論；
應(yīng)用：
（1）利用探究的結(jié)論計算三角形周長為4；
（2）分兩種情況：①點E在BA的延長線上時，如圖2，EF=CF-AE，②當(dāng)點E在AB的延長線上時，如圖3，
EF=AE-CF，兩種情況都是作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明兩三角形全等得線段相等，根據(jù)線段的和與差得出結(jié)論．

解答 探究：證明：如圖，延長BA到G，使AG=CF，連接DG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠DAG=∠DCF=90°，
∴△DAG≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠3，DG=DF，
∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，
∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°=∠EDF，
∵DE=DE，
∴△GDE≌△FDE（SAS），
∴EF=EG=AE+AG=AE+CF；
應(yīng)用：
解：（1）△BEF的周長=BE+BF+EF，
由探究得：EF=AE+CF，
∴△BEF的周長=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，
故答案為：4；
（2）當(dāng)點E不在邊AB上時，分兩種情況：
①點E在BA的延長線上時，如圖2，
EF=CF-AE，理由是：
在CB上取CG=AE，連接DG，
∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC，
∴△DAE≌△DCG（SAS）
∴DE=DG，∠EDA=∠GDC
∵∠ADC=90°，
∴∠EDG=90°
∴∠EDF+∠FDG=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDG=90°-45°=45°，
∴∠EDF=∠FDG=45°，
在△EDF和△GDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠EDF=∠GDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=CF-CG=CF-AE；
②當(dāng)點E在AB的延長線上時，如圖3，
EF=AE-CF，理由是：
把△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△DCG，可使AD與DC重合，連接DG，
由旋轉(zhuǎn)得：DE=DG，∠EDG=90°，AE=CG，
∵∠EDF=45°，
∴∠GDF=90°-45°=45°，
∴∠EDF=∠GDF，
∵DF=DF，
∴△EDF≌△GDF，
∴EF=GF，
∴EF=CG-CF=AE-CF；
綜上所述，當(dāng)點E不在邊AB上時，EF，AE，CF三者的數(shù)量關(guān)系是：EF=CF-AE或EF=AE-CF；
故答案為：EF=CF-AE或EF=AE-CF．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過類比聯(lián)想，引申拓展，可達到解一題知一類題的目的，本題通過旋轉(zhuǎn)一三角形的輔助線作法，構(gòu)建另一三角形全等，得出結(jié)論，從而解決問題．