Question

8．如圖，在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點(diǎn)B、D分別落在對(duì)角線BC上的點(diǎn)E、F處，折痕分別為CM、AN．連接MF、NE． P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點(diǎn)，連結(jié)PQ、CQ、MN．若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4，BC=3，則PC的長(zhǎng)度是2．

Answer 1

分析 設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，EF=x，作QG⊥PC于G點(diǎn)，首先求出AC=5，根據(jù)翻折變換知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE-EF）=5，可得EF=1，在Rt△CFN中，NF=tan∠NCF•CF，在Rt△NFE中，NO²=NF²+OF²，求出NO的長(zhǎng)，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2$\sqrt{{PQ}^{2}-{QG}^{2}}$．

解答 解：設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，EF=x，作QG⊥PC于G點(diǎn)，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵AF=CE=BC=3，
∴2AF-EF=AC，即6-x=5，
解得x=1，
∴EF=1，
∴CF=2，
在Rt△CFN中，tan∠DCA=$\frac{NF}{CF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
解得NF=$\frac{3}{2}$，
∵OE=OF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$，
∴在Rt△NFO中，ON²=OF²+NF²，
∴ON=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴MN=2ON=$\sqrt{10}$，
∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四邊形MQPN是平行四邊形，
∴MN=PQ=$\sqrt{10}$，
∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，
PG²=PQ²-QG²，即PG=$\sqrt{10-9}$=1，
∴PC=2PG=2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了翻折變換，還涉及平行四邊形、菱形的證明，解答問(wèn)的關(guān)鍵是求出EF的長(zhǎng)，此題難度較大，要熟練掌握此類試題的解答，此類題經(jīng)常出現(xiàn)中考試卷中，請(qǐng)同學(xué)們關(guān)注．