Question

16．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）t為何值時(shí)，△CPQ的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{8}$？
（2）運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△CPQ與△CBA相似？
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的長(zhǎng)度能否為1cm？試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積列方程即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解，①若Rt△ABC∽R(shí)t△QPC，②若Rt△ABC∽R(shí)t△PQC，然后列方程求解；
（3）根據(jù)勾股定理列方程，此方程無(wú)解，于是得到在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的長(zhǎng)度能否為1cm．

解答 解：（1）經(jīng)過(guò)t秒后，PC=4-2t，CQ=t，
當(dāng)△CPQ的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{8}$時(shí)，
即$\frac{1}{2}×$（4-2t）•t=$\frac{1}{8}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
解得；t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{1}{2}$；
∴經(jīng)過(guò)$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{2}$秒后，△CPQ的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{8}$；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解，
①若Rt△ABC∽R(shí)t△QPC則$\frac{AC}{BC}$=$\frac{QC}{PC}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{t}{4-2t}$，解之得t=1.2；
②若Rt△ABC∽R(shí)t△PQC則$\frac{PC}{QC}$=$\frac{AC}{BC}$，$\frac{4-2t}{t}$=$\frac{3}{4}$，解之得t=$\frac{16}{11}$；
由P點(diǎn)在BC邊上的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，Q點(diǎn)在AC邊上的速度為1cm/s，可求出t的取值范圍應(yīng)該為0＜t＜2，
驗(yàn)證可知①②兩種情況下所求的t均滿足條件．所以可知要使△CPQ與△CBA相似，所需要的時(shí)間為1.2或$\frac{16}{11}$秒；

（3）∵∠C=90°，
∴（4-2t）²+t²=1，
∵此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，
∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的長(zhǎng)度不能為1cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，特別是（2）注意分類討論．