Question

7．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A、B，其中A（-2，0），拋物線對(duì)稱軸直線x=1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)F是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F，使三角形ABF的面積為17？若存在求出F點(diǎn)坐標(biāo)；不存在說(shuō)明理由．
（3）平行于DE的一條動(dòng)直線l與BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求之即可；
（2）設(shè)出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，將三角形ABF的面積用F點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，然后等于17，解方程即可；
（3）設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，PQ的長(zhǎng)度用縱坐標(biāo)之差表示，然后令其等于DE，解方程即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）點(diǎn)C（0，4）和點(diǎn)A（-2，0），且對(duì)稱軸為x=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{4a-2b+c=0}\\{-\frac{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴所以拋物線的解析式為：$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+4$
∵$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+4$=$-\frac{1}{2}{（x-1）}^{2}+\frac{9}{2}$，
頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，$\frac{9}{2}$）；
（2）設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，$-\frac{1}{2}{m}^{2}+m+4$），三角形ABF的面積為S₁，
∵$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+4$=$-\frac{1}{2}（x+2）（x-4）$，
∴B（4，0），
∴AB=6；
∴${S}_{△ABF}=\frac{1}{2}×AB×|{y}_{F}|$=$\frac{1}{2}×6×|-\frac{1}{2}{m}^{2}+m+4|$=17，
即：$|\frac{3}{2}{m}^{2}-3m-12|=17$，
解得：x=$\frac{3+\sqrt{183}}{3}$或x=$\frac{3-\sqrt{183}}{3}$，
∴滿足要求的F點(diǎn)的坐標(biāo)為：（$\frac{3+\sqrt{183}}{3}$，-$\frac{17}{3}$）、（$\frac{3-\sqrt{183}}{3}$，-$\frac{17}{3}$）；

（3）∵B（4，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為：y=-x+4，
∴E（1，3），
∴DE=$\frac{3}{2}$，
設(shè)P（n，-n+4），則Q（n，$-\frac{1}{2}{n}^{2}+n+4$），
∴PQ=$-\frac{1}{2}{n}^{2}+n+4$-（-n+4）=$-\frac{1}{2}{n}^{2}+2n$，
∵DEPQ是平行四邊形，
∴DE=PQ，
∴$-\frac{1}{2}{n}^{2}+2n$=$\frac{3}{2}$，
解得：n=3或n=1（舍去），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形面積的坐標(biāo)表示、解一元二次方程、平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)，有一定綜合性，難度適中．需要強(qiáng)調(diào)的是，將豎直方向上的線段長(zhǎng)度或距離、水平方向上的長(zhǎng)度或距離用坐標(biāo)之差表示，對(duì)于解決坐標(biāo)系中的動(dòng)態(tài)幾何計(jì)算問題有重要作用，要引起高度重視，本題的第（2）問與第（3）問都用到了這一方法．