Question

已知：如圖，三角形ABM與三角形ACM關(guān)于直線(xiàn)AF成軸對(duì)稱(chēng)，三角形ABE與三角形DCE關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)E、D、M都在線(xiàn)段AF上，BM的延長(zhǎng)線(xiàn)交CF于點(diǎn)P．
（1）求證：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：中心對(duì)稱(chēng),全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）利用中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)得出全等三角形進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等；
（2）利用（1）中所求，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）證明：∵△ABM與△ACM關(guān)于直線(xiàn)AF成軸對(duì)稱(chēng)，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB=AC，
又∵△ABE與△DCE關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱(chēng)，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB=CD，
∴AC=CD；

（2）解：∠F=∠MCD．
理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，
∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，
∴設(shè)∠MPC=α，則∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，
設(shè)∠BMA=β，則∠PMF=∠CMA=β，
∴∠F=∠CPM-∠PMF=α-β，
∠MCD=∠CDE-∠DMC=α-β，
∴∠F=∠MCD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵．