Question

3．如圖，經(jīng)過原點的兩條直線l₁、l₂分別與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于A、B、P、Q四點，其中A、P兩點在第一象限，設(shè)A點坐標(biāo)為（3，1）．
（1）求k值及B點坐標(biāo)；
（2）若P點坐標(biāo)為（a，3），求a值及四邊形APBQ的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分別反比例圖象上點的坐標(biāo)特征得到k=3×1=3，再根據(jù)正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得到點A與點B關(guān)于原點對稱，則B點坐標(biāo)為（-3，-1）；
（2）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到a=1，即P點坐標(biāo)為（1，3），再根據(jù)正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得到點P與點Q關(guān)于原點對稱，所以點Q的坐標(biāo)為（-1，-3），由于OA=OB，OP=OQ，則根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形APBQ為平行四邊形，然后根據(jù)兩點間的距離公式計算出AB，PQ，可得到即AB=PQ，于是可判斷四邊形APBQ為矩形，再計算出PA和PB，然后計算矩形APBQ的面積．

解答 解：（1）把A（3，1）代入=$\frac{k}{x}$得k=3×1=3，
∵經(jīng)過原點的直線l₁與雙曲線=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于A、B、
∴點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴B點坐標(biāo)為（-3，-1）；
（2）把P（a，3）代入y=$\frac{3}{x}$得3a=3，解得a=1，
∵P點坐標(biāo)為（1，3），
∵經(jīng)過原點的直線l₂與雙曲線=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于P、Q點，
∴點P與點Q關(guān)于原點對稱，
∴點Q的坐標(biāo)為（-1，-3），
∵OA=OB，OP=OQ，
∴四邊形APBQ為平行四邊形，
∵AB²=（3+3）²+（1+1）²=40，PQ²=（1+1）²+（3+3）²=40，
∴AB=PQ，
∴四邊形APBQ為矩形，
∵PB²=（1+3）²+（3+1）²=32，PQ²=（3-1）²+（1-3）²=8，
∴PB=4$\sqrt{2}$，PQ=2$\sqrt{2}$，
∴四邊形APBQ的面積=PA•PB=2$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=16．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)、中心對稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)；會利用兩點間的距離公式計算線段的長．