Question

19．已知反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$和二次函數(shù)y₂=-x²+bx+c的圖象都過點A（-1，2）
（1）求k的值及b、c的數(shù)量關(guān)系式；（用c的代數(shù)式表示b）
（2）若兩函數(shù)的圖象除公共點A外，另外還有兩個公共點B（m，1）、C（1，n），試在如圖所示的直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，并利用圖象回答，x為何值時，y₁＞y₂；
（3）當(dāng)c值滿足什么條件時，函數(shù)y₂=-x²+bx+c在x≤-$\frac{1}{2}$的范圍內(nèi)隨x的增大而增大？

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標代入兩函數(shù)的解析式中即可得出k的值，以及b與c的數(shù)量關(guān)系．
（2）在（1）中已得出了反比例函數(shù)的解析式，那么可根據(jù)B，C兩點都在反比例函數(shù)上可求出B，C的坐標，然后根據(jù)B，C的坐標用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．進而可根據(jù)兩函數(shù)的解析式來得出函數(shù)的圖形，以及y₁＞y₂時，x的取值范圍．
（3）由于拋物線開口向下，因此對稱軸左邊，拋物線上的點都是隨x的增大而增大，那么對稱軸-$\frac{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，然后再根據(jù)（1）中b，c的大小關(guān)系即可求出c的取值范圍．

解答 解：（1）將A（-1，2）代入反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$中，
可得k=（-1）×2=-2，
將A（-1，2）代入二次函數(shù)y₂=-x²+bx+c，
可得2=-1-b+c，
即b=c-3．
（2）由題意可知，B的坐標為（-2，1），C的坐標為（1，-2）．
反比例函數(shù)的解析式為y₁=-$\frac{2}{x}$，
拋物線的解析式為y₂=-x²-2x+1．
如圖右圖：由圖可知：當(dāng)x＜-2，-1＜x＜0和1＜x時，y₁＞y₂．
（3）∵拋物線開口向下，因此對稱軸左邊，拋物線上的點都是隨x的增大而增大，
即-$\frac{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{c-3}{-2}$≤-$\frac{1}{2}$，
解得c≤2．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)和二次函數(shù)的綜合知識，利用條件來確定b，c的值或數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．