Question

8．直線y=$\frac{1}{2}$x+2交x軸于A，交y軸于B，P點從A點出發(fā)沿射線AO運動，同時Q從B點出發(fā)沿射線OB方向運動，速度均為1個單位/秒
（1）當(dāng)時間t=3s時，求S_△PBQ？
（2）當(dāng)S_△PBQ=$\frac{5}{2}$時，求運動的時間t；
（3）點P在線段OA上運動的過程中是否存在時間t，使S_△PBQ最大？若存在，求t的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出AO的長度是多少；然后分別求出BQ、AP的長度，再根據(jù)S_△PBQ=BQ•OP÷2，求出S_△PBQ的值是多少即可．
（2）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)點P在AO上時；②當(dāng)點P在x軸正半軸上時；然后分別求出0P、BQ的長度，根據(jù)S_△PBQ=BQ•OP÷2=$\frac{5}{2}$，求出運動的時間t是多少即可．
（3）點P在線段OA上運動的過程中存在時間t，使S_△PBQ最大．當(dāng)點P在線段OA上運動時，0≤t≤4，應(yīng)用配方法，可得S_△PBQ=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，據(jù)此判斷出t=2時，S_△PBQ最大即可．

解答 解：（1）如圖1，

∵直線y=$\frac{1}{2}$x+2交x軸于A，交y軸于B，
∴A（-4，0）、B（0，2），
∴AO=4，
∵t=3，
∴BQ=1×3=3，AP=1×3=3，
∴S_△PBQ=BQ•OP÷2=3×（4-3）÷2=1.5．

（2）①如圖2，

當(dāng)點P在AO上時，
∵S_△PBQ=$\frac{5}{2}$，
∴（4-t）t÷2=$\frac{5}{2}$，
整理，可得
t²-4t+5=0，
∵△=4²-4×5=-4＜0，
∴方程無解．
②如圖3，

當(dāng)點P在x軸正半軸上時，
∵S_△PBQ=$\frac{5}{2}$，
∴（t-4）t÷2=$\frac{5}{2}$，
整理，可得
t²-4t-5=0，
解得t=5或t=-1（舍去），
∴當(dāng)S_△PBQ=$\frac{5}{2}$時，運動的時間t=5s．
綜上，可得當(dāng)S_△PBQ=$\frac{5}{2}$時，運動的時間t=5s．

（3）點P在線段OA上運動的過程中存在時間t，使S_△PBQ最大．
如圖4，

點P在線段OA上運動時，0≤t≤4，
∵S_△PBQ=（4-t）t÷2=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，
∴t=2時，S_△PBQ最大=2，
∴點P在線段OA上運動的過程中存在時間t=2s，使S_△PBQ最大是2．

點評 （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．
（2）此題還考查了行程問題中各個量之間的關(guān)系：速度×?xí)r間=路程，路程÷時間=速度，路程÷速度=時間，要熟練掌握．