Question

7．在正方形ABCD中，AB=8，M是DC上的一點(diǎn)，且DM=2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求DN+MN的最小值與最大值．

Answer 1

分析 要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN，MN的值，從而找出其最小值求解；當(dāng)點(diǎn)N位于點(diǎn)A處是DN+MN有最大值．

解答 解：如圖1，連接BM．

∵點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，
∴NB=ND，
則BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)是8，DM=2，
∴CM=6，
∴BM=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴DN+MN的最小值是10．
如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，DN+MN有最大值．

在Rt△NDM中，NM=$\sqrt{N{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．
∴ND+NM=8+2$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用、軸對(duì)稱路徑最短問題，掌握DN+MN有最大值和最小值的條件是解題的關(guān)鍵．