Question

1．已知一次函數(shù)y=k₁x+b與反比例函數(shù)y=$\frac{k_2}{x}$的圖象交于第一象限內(nèi)的P（$\frac{1}{2}$，8），Q（4，m）兩點(diǎn)，與x軸交于A點(diǎn)．
（1）分別求出這兩個函數(shù)的表達(dá)式；
（2）寫出點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)；
（3）求∠P'AO的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)P（$\frac{1}{2}$，8），可得反比例函數(shù)解析式，根據(jù)P（$\frac{1}{2}$，8），Q（4，1）兩點(diǎn)可得一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可得點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P′作P′D⊥x軸，垂足為D，構(gòu)造直角三角形，依據(jù)P'D以及AP'的長，即可得到∠P'AO的正弦值．

解答  解：（1）∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，
∴把點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，8）代入$y=\frac{k_2}{x}$可得：k₂=4，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為$y=\frac{4}{x}$，
∴Q （4，1）．
把P（$\frac{1}{2}$，8），Q （4，1）分別代入y=k₁x+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}8=\frac{1}{2}{k_1}+b\\ 1=4k_1^{\;}+b\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k_1}=-2\\ b=9\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-2x+9；        
（2）點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（$-\frac{1}{2}$，-8）；
（3）過點(diǎn)P′作P′D⊥x軸，垂足為D．
∵P′（$-\frac{1}{2}$，-8），
∴OD=$\frac{1}{2}$，P′D=8，
∵點(diǎn)A在y=-2x+9的圖象上，
∴點(diǎn)A（$\frac{9}{2}$，0），即OA=$\frac{9}{2}$，
∴DA=5，
∴P′A=$\sqrt{P′{D^2}+D{A^2}}=\sqrt{89}$，
∴sin∠P′AD=$\frac{P′D}{P′A}=\frac{8}{{\sqrt{89}}}=\frac{{8\sqrt{89}}}{89}$，
∴sin∠P′AO=$\frac{{8\sqrt{89}}}{89}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，中心對稱以及解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．