Question

11．如圖，已知AC⊥BC，垂足為C，AC=4，BC=3$\sqrt{3}$，將線段AC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得到線段AD，連接DC，DB．
（1）線段DC=4；
（2）求線段DB的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）證明△ACD是等邊三角形，據(jù)此求解；
（2）作DE⊥BC于點(diǎn)E，首先在Rt△CDE中利用三角函數(shù)求得DE和CE的長(zhǎng)，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解．

解答 解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴DC=AC=4．
故答案是：4；

（2）作DE⊥BC于點(diǎn)E．
∵△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵AC⊥BC，
∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°，
∴Rt△CDE中，DE=$\frac{1}{2}$DC=2，
CE=DC•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BE=BC-CE=3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∴Rt△BDE中，BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線，轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算是關(guān)鍵．