Question

3．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠ADC=135°，AB=8$\sqrt{3}$，BC=6$\sqrt{7}$，∠BAC=60°，求CD的長．

Answer 1

分析 過C作CE⊥AD交AD 的延長線于E，CF⊥AB于F，由∠BAC=60°，于是得到CF=$\sqrt{3}$AF，根據(jù)勾股定理列方程（6$\sqrt{7}$）²=（8$\sqrt{3}$-AF）²+（$\sqrt{3}AF$）²，求得AF=5$\sqrt{3}$，由于∠ADC=135°，于是得到∠CDE=45°，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：過C作CE⊥AD交AD 的延長線于E，CF⊥AB于F，
∵∠BAC=60°，
∴CF=$\sqrt{3}$AF，
∵BF=AB-AF=8$\sqrt{3}$-AF，
在Rt△BCF中，BC²=BF²+CF²，
即（6$\sqrt{7}$）²=（8$\sqrt{3}$-AF）²+（$\sqrt{3}AF$）²，
解得：AF=5$\sqrt{3}$，
∵∠ADC=135°，
∴∠CDE=45°，
∴CD=$\sqrt{2}$CE=5$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．