Question

1．如圖1，分別以△ABC的邊AB、AC為腰向外作等腰三角形ABE和ACD，且AB=AE，AC=AD，M為BC的中點(diǎn)，連接DE，MA的延長線交DE于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°時(shí)，猜想線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是AM=$\frac{1}{2}ED$；位置關(guān)系是AM⊥ED．
（2）如圖2，當(dāng)∠BAC≠90°時(shí)，∠BAE=∠CAD=90°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由．
（3）如圖3，當(dāng)∠BAC≠90°時(shí)，∠BAE=α°，∠CAD=（180-α）°，判斷線段DE與AM的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可知AM=$\frac{1}{2}$CB，然后再證明△ABC≌△AED，從而可證明BC=DE，可證得：AM=$\frac{1}{2}$DE，由△BAC≌△DAE，然后在證明∠AEN+∠EAN=90°，可知AM⊥DE；
（2）延長AM到K，使MK=AM，連接BK、CK．可證得四邊形ABKC是平行四邊形，然后再證明△ABK≌△EAD（SAS），從而可證得：DE=2AM．再根據(jù)∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=180°-90°=90°，可證明AM⊥DE；
（3）延長AM到P，使MP=MA，連接BP．由BM=CM，∠BMP=∠CMA可證得△BMP≌△CMA（SAS），從而得到：BP=AC=AD，∠BPM=∠CAM，然后由∠BAE+∠CAD=α+（180°-α）=180°，可知∠ABP=∠EAD，可證得△ABP≌△EAD（SAS）從而可證明DE=2AM．

解答 解：（1）DE=2AM；AM⊥DE．
理由：∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∠BAC=90°
∴AM=$\frac{1}{2}$BC，AM=MC
在△BAC和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAC=∠EAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$
∴△BAC≌△DAE．
∴BC=DE．
∴AM=$\frac{1}{2}$DE．
∵AM=MC．
∴∠MCA=∠MAC．
∵∠CBA+BCA=90°，
∴∠CBA+∠MAC=90°．
∵△BAC≌△DAE，
∴∠CBA=∠AED．
又∵∠MAC=∠NAE，
∴∠AEN+∠EAN=90°．
∴AM⊥DE．
（2）（1）中結(jié)論成立．
理由：如圖2，延長AM到K，使MK=AM，連接BK、CK．

∵M(jìn)為BC邊的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
∴四邊形ABKC是平行四邊形，
∴AC=BK，∠ABK+∠BAC=180°
∵∠DAC=∠EAB=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠ABK=∠DAE，
又∵BK=AC=AD，AB=AE，
∴△ABK≌△EAD（SAS）．
∴AK=DE，∠BAK=∠AED
∴DE=2AM．
∵∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=180°-90°=90°，
∴AM⊥DE，
即DE=2AM且AM⊥DE．
（3）DE=2AM．
理由：如圖3，延長AM到P，使MP=MA，連接BP．

又∵BM=CM，∠BMP=∠CMA
∴△BMP≌△CMA（SAS），
∴BP=AC=AD，∠BPM=∠CAM
又∵∠PBM=∠ACM
∴BP∥AC，∠ABP+∠ABP+∠BAC=180°，
又∵∠BAE+∠CAD=α+（180°-α）=180°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABP=∠EAD，
又∵BP=AD，BA=AE，
∴△ABP≌△EAD（SAS）
∴PA=DE，
∵PA=2AM
∴DE=2AM．

點(diǎn)評 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，同時(shí)本題還涉及了平行四邊形、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握此類問題的輔助線的做法是解題的關(guān)鍵．