Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形OABC三個(gè)頂點(diǎn)分別O（0，0），A（3，0），C（0，1）．點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線y=-$\frac{1}{2}x$+b交折線OAB（由線段OA、線段AB組成）于點(diǎn)E．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；
（2）b的取值范圍為1＜b＜$\frac{5}{2}$；
（3）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)可知OA=BC，AB=OC，可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別求得直線DE過C、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的b的值，則可得出b的取值范圍；
（3）由題意可知D到OA的距離是固定的，所以用b表示出OE的長(zhǎng)，即可表示出△ODE的面積．

解答 解：（1）∵四邊形OABC為長(zhǎng)方形，
∴AB=OC，OA=BC，
又A（3，0），C（0，1），
∴OA=3，OC=1，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），
故答案為：（3，1）；
（2）當(dāng)直線DE過點(diǎn)C時(shí)，把C點(diǎn)代入y=-$\frac{1}{2}x$+b，可得b=1；
當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，把B點(diǎn)代入y=-$\frac{1}{2}x$+b，可得-$\frac{3}{2}$+b=1，解得b=$\frac{5}{2}$，
∵點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），
∴b的取值范圍為：1＜b＜$\frac{5}{2}$，
故答案為：1＜b＜$\frac{5}{2}$；
（3）①當(dāng)E在OA上時(shí)，如圖，

∵D是線段BC上的點(diǎn)，
∴D到OA的距離為OC的長(zhǎng)，即△ODE的OE邊上的高為OC=1，
在y=-$\frac{1}{2}x$+b中，令y=0可得x=2b，
∴OE=2b，
∴S=S_△ODE=$\frac{1}{2}$•OE•OC=$\frac{1}{2}$×2b×1=b；
②當(dāng)E在AB上時(shí)，如圖，

此時(shí)，E（3，b-$\frac{3}{2}$）、D（2b-2，1），
S=S_△ODE=$3×1-\frac{1}{2}×1×（2b-2）$-$\frac{1}{2}×（5-2b）×（\frac{5}{2}-b）$-$\frac{1}{2}$×3×（b-$\frac{3}{2}$）=$-^{2}+\frac{5}{2}b$
∴S與b的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{b（1＜b＜\frac{3}{2}）}\\{-^{2}+\frac{5}{2}b（\frac{3}{2}＜b＜\frac{5}{2}）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)與四邊形、三角形的綜合應(yīng)用，在（1）中掌握矩形的對(duì)邊平行且相等是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用函數(shù)解析式分別求得b的最大值和最小值是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出△ODE的OE邊上的高為OC是解題的關(guān)鍵．本題難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)的考查，在平時(shí)注意基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和運(yùn)用..