Question

5．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²-2ax-3a，交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)C，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，∠ACB=45°
（1）求a的值；
（2）點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)，且AD=2CD，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交拋物線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PDE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作PF∥DE交直線AC于點(diǎn)F，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求得點(diǎn)A坐標(biāo)（0，-3a），再求得點(diǎn)B，C坐標(biāo)，根據(jù)∠ACB=45°，可得出a的值；
（2）根據(jù)a的值得出拋物線的解析式，由AD=2CD，DE∥y軸，得出D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)直接寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求出直線AC的解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)F坐標(biāo)，整理出關(guān)于h的方程，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax-3a，交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)C，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，
∴A（0，-3a），
∵拋物線y=ax²-2ax-3a，交x軸正半軸于點(diǎn)C，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，
∴x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
∴B（-1，0），C（3，0），
∴OC=3，
∵∠ACB=45°，
∴OA=3，
∴-3a=3，
∴a=-1，
故a的值為-1；
（2）∵a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
設(shè)DE與x軸交于點(diǎn)H，
∵DE∥y軸，AD=2CD，
∴$\frac{DH}{OA}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DH=CH=1，
∴D（2，1），
∵點(diǎn)E在拋物線上，
∴E（2，3），
∵點(diǎn)P為x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴-1＜t＜3，
∵△PDE的面積為S，
∴$\frac{1}{2}$DE•|t-2|=S，
∴S=|t-2|（-1＜t＜3）；
（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得b=3，k=-1，
∴直線AC的解析式為y=-x+3，
假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（h，-h²+2h+3），
∵PF∥DE，
∴PF=DE，
∴F（h，-h+3），
∴-h²+2h+3-（-h+3）=2，
∴h²-3h+2=0，
∴h₁=1，h₂=2，
∴拋物線上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，要注意當(dāng)情況不確定的情況下需要分類討論，以免漏解．