Question

6．已知點A（0，-4），B（8，0）和C（a，-a），若過點C的圓的圓心是線段AB的中點，則這個圓的半徑的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用點C的坐標可判斷點C在直線y=-x上，在確定AB的中點D的坐標為（4，-2）過D點作DC垂直直線y=-x于點C，利用兩點之間線段最短得到此時CD為過點C的圓的最小半徑，再求出直線CD的解析式為y=x-6，
通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得C點坐標為（3，-3），然后利用兩點的距離公式計算CD的長即可．

解答 解：∵C（a，-a），
∴點C在直線y=-x上，
設AB的中點D，則D（4，-2）
過D點作DC垂直直線y=-x于點C，此時CD為過點C的圓的最小半徑，
∵CD⊥直線y=-x，
∴直線CD的解析式可設為y=x+b，
把D（4，-2）代入得4+b=-2，解得b=-6，
∴直線CD的解析式為y=x-6，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
此時C點坐標為（3，-3），
∴CD=$\sqrt{（4-{3}^{2}+（-2+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即這個圓的半徑的最小值為$\sqrt{2}$．
故選B．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了坐標與圖形性質．解決本題的關鍵是直線y=-x與圓相切時的切點坐標．