Question

17．如圖，已知在⊙O中，AB=2$\sqrt{3}$，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠ABD=60°．
（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）若用陰影部分圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理，由AC⊥BD得弧BC=弧CD，且∠AFB=90°，則∠BAF=30°，利用圓周角定理得∠BOC=∠COD=60°，再由AC為直徑得到∠ABC=90°，于是根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=2，則OB=BC=2，然后根據(jù)扇形面積公式求解；
（2）設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)和扇形面積公式得到$\frac{1}{2}$•2πr•2=$\frac{4}{3}$π，然后解關(guān)于r的方程即可．

解答 解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠AFB=90°，弧BC=弧CD，
在Rt△ABF中，∵∠ABD=60°，
∴∠BAF=30°，
∴∠BOC=∠COD=2∠A=60°，
∵AC為直徑，
∴∠ABC=90°，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$=2，
∴OB=BC=2，
∴圖中陰影部分的面積=$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π；
（2）設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為r，
∴$\frac{1}{2}$•2πr•2=$\frac{4}{3}$π，
∴r=$\frac{2}{3}$，
即這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．也考查了扇形面積的計(jì)算．