Question

12．如圖所示，P是正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2，PB=2$\sqrt{3}$，PC=4，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CB=CA，∠ACB=90°，則利用旋轉(zhuǎn)的定義，可把△CPA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CDB，如圖，作CH⊥BD于H，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=CP═4，∠PCD=60°，BD=AP=2，于是可判斷△CPD為等邊三角形，得到∠PDC=60°，PD=CP=4，在△PDB中，利用勾股定理的逆定理得到∠PDB=90°，根據(jù)直角三角函數(shù)求得∠PDB=60°，然后根據(jù)平角定義可計(jì)算出∠CDH=60°，在Rt△CDH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得DH=$\frac{1}{2}$CD=2，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=2$\sqrt{3}$，則BH=BD+DH=4，接著在Rt△BCH中，利用勾股定理計(jì)算出BC²=28，即可求得BC的長(zhǎng)．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴把△CPA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°可得到△CDB，如圖，作CH⊥BD于H，
∴CD=CP=4，∠PCD=60°，BD=AP=2，
∴△CPD為等邊三角形，
∴∠PDC=60°，PD=CP=4，
在△PDB中，PB=2$\sqrt{3}$，BD=2，PD=4，
∵2²+（2$\sqrt{3}$）²=4²，
∴BD²+PB²=PD²，
∴△PDB為直角三角形，
∴∠PBD=90°，
∵cos∠PDB=$\frac{BD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠PDB=60°，
∴∠CDH=180°-60°-60°=60°，
在Rt△CDH中，DH=$\frac{1}{2}$CD=2，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=2$\sqrt{3}$，
∴BH=BD+DH=2+2=4，
在Rt△BCH中，BC²=BH²+CH²=4²+（2$\sqrt{3}$）²=28，
∴BC=2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．