Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'C．在MN上存在一動(dòng)點(diǎn)P．連接A'P、CP，則△A'PC周長(zhǎng)的最小值是$\sqrt{17}$-1+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分兩步討論：①先確定點(diǎn)P的位置，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PC有最小值，
②當(dāng)M、A′、C三點(diǎn)共線時(shí)，A′C有最小值，確定動(dòng)點(diǎn)N的位置；
再計(jì)算此時(shí)的周長(zhǎng)即可．

解答 解：分兩步：
①連接AP，則AP=AP′，
∴△A'PC周長(zhǎng)=A′P+PC+A′C=AP+PC+A′C，
∵AP+PC＞AC，
當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PC有最小值，是AC的長(zhǎng)，
所以AC與MN的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
②連接CM，
∵A′C＞CM-A′M，
∴當(dāng)M、A′、C三點(diǎn)共線時(shí)，A′C有最小值，
此時(shí)，∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，
∴AM=DM=1，
∴MC=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
由折疊得：AM=A′M=1，
∴A′C=MC-A′M=$\sqrt{17}$-1，
∴△A'PC周長(zhǎng)的最小值是：$\sqrt{17}$-1+2$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{17}$-1+2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題和矩形的性質(zhì)，有難度，還考查了兩點(diǎn)之間線段最短，或利用三角形的三邊關(guān)系來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的位置．