Question

5．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E點，延長BC至F點使CF=BE，連接AF，DE，DF．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形AEFD是平行四邊形，再證明∠AEF=90°即可．
（2）證明△ABF是直角三角形，由三角形的面積即可得出AE的長．

解答 （1）證明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在?ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四邊形AEFD是平行四邊形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四邊形AEFD是矩形；

（2）解：∵四邊形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB²+AF²=6²+8²=100=BF²．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面積=$\frac{1}{2}$AB•AF=$\frac{1}{2}$BF•AE．
∴AE=$\frac{AB•AF}{BF}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查矩形的性質、菱形的性質、平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握這些知識的應用，屬于中考�？碱}型．