Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別在AB，AD上，且AE=DF，連接BF與DE，相交于點(diǎn)G，連接CG，與BD相交于點(diǎn)H，下列結(jié)論：①△AED≌△DFB；
②S_{四邊形BCDG}=

3

4

CG²；③若AF=2FD，則BG=6GF，其中正確的有（　�。�

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：①先證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB；
②證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°，過點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}，易求后者的面積．
③過點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)，根據(jù)題意有FP：AE=DF：DA=1：3，則FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF．

解答：解：①∵ABCD為菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD為等邊三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
在△AED和△DFB中，

AD=BD ∠A=∠BDF AE=DF

，
∴△AED≌△DFB（SAS），故本小題正確；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
如圖1，過點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
∴CM=CN．∠CMB=∠CND=90°
在Rt△CND和Rt△CMB中，

CB=CD CM=CN

，
△CBM≌△CDN，（HL）
∴S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}．
S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=

1

2

CG，CM=

3

2

CG，
∴S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG=2×

1

2

×CG×

3

2

CG=

3

4

CG²，故本小題正確；
③如圖2，過點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)．                  
∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即BG=6GF，故本小題正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形，把不規(guī)則圖形的面轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等三角形的面積是解題的關(guān)鍵．