Question

8．平面直角坐標(biāo)系中，若P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則線段P₁P₂的中點(diǎn)坐標(biāo)可表示為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），例如P₁（-1，3），P₂（5，1），則P₁P₂的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），如圖1，直線y=2x+2與直線y=-2x+14交于點(diǎn)M，分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)C（0，n）在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P（m，0）從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交直線MB于點(diǎn)D，以P，C，D為頂點(diǎn)作?PDQC，PQ與CD交于點(diǎn)E
（1）當(dāng)n=4時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，4）．
（2）如圖2，當(dāng)n=2時(shí)，解決下列問(wèn)題：
①點(diǎn)E坐標(biāo)是（3，2）；
②當(dāng)?PDQC是菱形時(shí)，m=3；當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí)，m=6；
③當(dāng)點(diǎn)Q落在MB上時(shí)記為Q₁，點(diǎn)Q落在MA上時(shí)記為Q₂，求點(diǎn)Q從Q₁運(yùn)動(dòng)到Q₂的過(guò)程中，線段PQ掃過(guò)的面積．
（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)O到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)Q始終落在△MAB外，請(qǐng)直接寫(xiě)出n取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，即可解決問(wèn)題．
（2）①先求出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決問(wèn)題．
②根據(jù)四邊形PDQC是菱形，推出PQ⊥CD，求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決第二個(gè)問(wèn)題．
③求出Q₁、Q₂坐標(biāo)，線段PQ掃過(guò)的面積=2•${S}_{△E{Q}_{1}{Q}_{2}}$，由此即可計(jì)算．
（3）利用方程組求出點(diǎn)M坐標(biāo)，），設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為b，列出不等式即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵CD∥AB，
∴n=4時(shí)，對(duì)于y=-2x+14，y=4時(shí)，x=5，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（5，4），
故答案為（5，4）．

（2）①當(dāng)n=2時(shí)，C（0，2），D（6，2），
∵四邊形CPDQ是平行四邊形，
∴CE=ED，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（3，2），
故答案為（3，2）．
②∵四邊形PDQC是菱形，
∴PQ⊥CD，
∵CD∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵E（3，2），
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（3，0），
∴m=3，
當(dāng)Q在y軸上時(shí)，$\frac{0+m}{2}$=3，
∴m=6，
故答案為6．
③如圖3中，設(shè)Q₁（m，-2m+14），Q₂（n，2n+2），

∵E（3，2），
∴$\frac{0+-2m+14}{2}$=2，$\frac{0+2n+2}{2}$=2，
∴m=5，n=1，
∴Q₁（5，4），Q₂（1，4），
∴Q從Q₁運(yùn)動(dòng)到Q₂的過(guò)程中，線段PQ掃過(guò)的面積=2•${S}_{△E{Q}_{1}{Q}_{2}}$=2×$\frac{1}{2}$×4×2=8．

（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-2x+14}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（3，8），設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為b，
∵點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為n，Q始終落在△MAB外，
∴b＞8即2n＞8，
∴n＞4時(shí)，點(diǎn)Q始終落在△MAB外．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．