Question

3．如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過A、B兩個(gè)景點(diǎn)，景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)C，經(jīng)測(cè)量，B位于A的北偏東75°方向，C位于B的正北方向，C位于A的北偏東30°方向，AB=8km．
（1）求景點(diǎn)B與C的距離；
（2）為方便游客到景點(diǎn)游玩，景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)C向公路a修一條距離最短的公路，不考慮其它因素，求出這條公路的長(zhǎng)．（本題結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）首先過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，由在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=45°，可求得BD的長(zhǎng)，然后由在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠DCB=30°，求得BC的長(zhǎng)；
（2）首先過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，繼而求得AD，CD與AC的長(zhǎng)，然后在Rt△CAE中，求得答案．

解答 解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D．
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=45°，
∴$sin{45°}=\frac{BD}{8}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴BD=$4\sqrt{2}$，
在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠DCB=30°，
∴$sin{30°}=\frac{{4\sqrt{2}}}{BC}=\frac{1}{2}$．
∴BC=$8\sqrt{2}$km；

（2）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E．
在（1）中可求出AD=$4\sqrt{2}$，CD=$4\sqrt{6}$，則AC=$4\sqrt{2}$+$4\sqrt{6}$，
在Rt△CAE中，sin∠CAE=$\frac{CE}{AC}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴代入求出CE=（4+$4\sqrt{3}$）km．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了方向角問題．注意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．